安心してください
設置日の基準はNHKとの契約における決まり事なのであって
双方が納得されれば現時点をもって新規契約開始とすることに何の問題もありませんよ
この場合にはあらためて本当の設置日に遡って請求する手段を司法ですら持っていません
ただ、不法に契約を拒絶したような場合には懲罰的な意味合いを込めて過去分の請求を裁判沙汰にしてくる可能性はあります