馬って公道走れるんですか？その場合なんか免許必要ですか？
→走れます。私は九州のある乗馬倶楽部に所属していますが外乗はいつも公道を走っています。
車道の左端を通ることになります。
ボロ（糞）をしますから、必ずすぐに回収車で回収します。
皆さんと言われるとおり軽車両（自転車やリヤカーと同じ扱い）ですから免許や自賠責はありません。

買い物に行ったり出来るんですか？
→馬は帰巣本能が強いので繋ぎ場がないと勝手に帰ってしまいます。
現実的には無理と思います。